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Je n'ai pas compris un exercice

Par michel9694 - Classe de Terminale S

Bonsoir, j'ai un exercice à faire, mais je ne comprend l'une des questions, l'énoncé est le suivant:
L'objectif de cet exercice est de déterminer la limite en +infini de e^x / x^n pour tout entier naturel n.
^ signifie puissance.
1)a/ Démontrer que pour tout réel x non nul:
e^x / x² = 1/4 x (e^(x/2) / (x/2) )²
J'ai donc trouvé: e^x / x² = 1/4 x ( e^(x/2)² / (x²/2) )
e^x / x² = 1/4 x (e^x / (x²/4) )
e^x / x² = e^x / 4x (x²/4)
e^x / x² = e^x / x²
e^x/ x²
b/ En déduire limite e^x / x² lorsque x tend vers +infini
J'ai trouvé:                                                                     
lim e^x lorsque x tend vers +infini = +infini    
lim x² lorsque x tend vers + infini = +infini
Lorsque l'on fait le quotient de ces deux lim on obtient: lim e^x / x² lorsque x tend vers + inifini = FI
Vu que je trouve FI je pense que j'ai du mon trompé mais je n'arrive pas à savoir ou..
2)a/ Démontrer que pour tout réel x non nul et tout entier naturel n non nul:
e^x / x^n = (1 / n^n) x (e^(x / n) / (x /n) ) ^n
J'ai trouvé: e^x / x^n = (1 / n^n) x (e^(x / n)^n / (x / n)^n
e^x / x^n = (1/n^n) x (e^x / (x^n / n^n) )
e^x / x^n= (1/ n^n) x (e^x / (x^n /n^n)
e^x / x^n = e^x / x^n
b/  En déduire lim e^x / x^n quand x tend vers + infini
Je trouve exactement le même résultat qu'à la question 1)b/, c'est normal?
Merci beaucoup!
Il y a 4 ans - Il reste 0 seconde pour répondre - 4 réponses au total - Signaler un abus




Réponses à cette question de mathématiques


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 Pour faire les limites, je dois pendre 1/4 × ((e^x/2)/x/2)^2 ou (e^x)/x^2 pour le 1) b/. Et pour le 2) b/ je dois prendre (1/n^n)×((e^x/n)/(x/n))^n ou e^x/x^n ?

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Oui, c'est le même principe
Anne


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Ah d'accord! Merci beaucoup! Donc pour le 2)b/ je dois faire la limite du résultat du 2) a/ ?

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

bonjour,
b) tu n'as pas fait d'erreur. tu dois utiliser le résultat de la question a) (sinon elle n'a pas d'intérêt):
e^x / x² = 1/4 x (e^(x/2) / (x/2) )²
fais un changement de variable en posant X = x/2 . Tu dois donc chercher la limite en  +inf de 1/4 * [e^(x/2) / (x/2)]² donc de
1/4 * [e^X/ X]²   . si x tend vers + inf,   x/2 (=X) tend vers + inf.    Or tu as appris (je pense) que lim e^x/x en + inf est + inf
donc lim e^X/ X  = + inf  donc lim 1/4 * [e^X/ X]²  = + inf
Anne



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