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Fonction

Par morgane3983 - Classe de Terminale S

 bonjour 
on désigne pa r f une fonction dérivable sur R qui vérifie les propriétés suivantes
(A) pour tout réel x n [f '(x)]² -[f(x)]² =1
(B) f '(0)= 1
(C)la fonction f ' est dérivable sur R
1) calculer f(0)   2) justifier que f '(x) est different de 0       3) en dérivant (A) démontrer que  f " (x) = f (x)  4) soit U = f ' +f    a) démontrer que U '= u et calculer U(0)        b) en déduire l'expression de U(x)
5) soit V = f '- f  a) démontrer que V '= - V        b)1.soit W (x)=  V ( -x)  démontrer que w '(x)  = w (x)         2.et calculer  W (0) et en déduire la fonction W puis  la fonction v
6) connaissant les fonctions U et V , en déduire la fonction f
 1) f(x)²=1-f'(x)². f(0)²=1-f'(0)²=1-1=0.  f(0)=0
  2) f'(x)²=1+f(x)². Donc f'(x)²>=1.  Donc f'(x) est different de 0.
  3) A'=2f'(x)f''(x)-2f(x)f'(x)=2f'(x)(f''(x)-f(x)). Or f'(x) est different de 0 donc f''(x)=f'(x)
  4)a) u'=f''+f'=f+f'=u. u'=u.    u(0)=f(0)+f'(0)=1+0=1. u(0)=1.
      b) On sait que u=u' et que u(0)=1 donc u=e^x
  5)a) v=f'-f. v'=f''-f'=f-f'=-v.  v'=-v.
     b)1. Cela me pose un probleme
         2.w(0)=v(-0)=-f(0)+f'(0)=1.   On sait que w'=w et que w(0)=1 donc w=e^x. Or w(x)=v(-x) donc v(-x)=e^x donc v(x)=e^(-x).
   6) u(x)-v(x)=e^x-e^(-x).
      f'(x)+f(x)-f'(x)+f(x)=e^x-e^(-x).        f(x)=(e^x-e^(-x))/2
Il y a 5 ans - Il reste 0 seconde pour répondre - 6 réponses au total - Signaler un abus




Réponses à cette question de mathématiques


Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 5 ans - Signaler un abus

 Je suis allée un peu vite ...
Anne


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Par mohamed2757 - Il y a 5 ans - Signaler un abus

De rien Morgane, fais attention aussi à A' =0 il faut le mettre clairement.

Réponse >>
Par morgane3983 - Il y a 5 ans - Signaler un abus

 ok d'accord merci beaucoup!!

Réponse >>
Par mohamed2757 - Il y a 5 ans - Signaler un abus

C'est plutôt de cette manière.
W(x)= V(-x) on dérive les deux côtés
W ' (x) = V ' (-x)* (-x) '
W '(x) = - V '(-x) et et comme V '= V par démonstration en 5) a, alors V '(-x) = - V(-x)
Donc W '(x) = - (- V(-x)) =  V (-x) = W(x)


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Par morgane3983 - Il y a 5 ans - Signaler un abus

 bonjour
merci pour votre réponse mais bien sur je ne comprends pas pourquoi  -(x) '*v '(x)= - v ' (x)


Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 5 ans - Signaler un abus

Bonjour,
pour la 5b1) V(-x) est une fonction composée donc V ' (-x) =(-x) ' * V ' (x) = - V ' (x)
Tout le reste me semble bon
Anne



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