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Exercice

Par michel9694 - Classe de Terminale S

 L'exercice est le suivant:
On considère la fonction f définie sur [0; + infini[ par f(x)=5e^-x - 3e^-2x +x-3
On note Cf la représentation graphique de la fonction f et D la droite d'équation y=x - 3 dans un repère orthogonal du plan. 
Partie A: Positions relatives de Cf et D
Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0;+ infini[ par g(x) = f(x) - (x-3) 
1) Justifier que pour tout réel x de l'intervalle [0; + infini[, g(x) > 0 
2) La courbe Cf et la droite D ont elles un point commun? Justifier.
Partie B: Etude de la fonction g
On note M le point d'abscisse x de la courbe Cf, N le point d'abscisse x de la droite D et on s'intéresse à l'évolution de la distance MN.
1) Justifier que pour tout x de l'intervalle [0;+infini[ la distance MN est égale à g(x) 
2) On note g' la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle [0;+infini[ 
pour tout x de l'intervalle [0; +infini[ , calculer g'(x)
3) montrer que la fonction g possède un maximumsur l'intervalle [0;+infini[ que l'on determinera
en donner l'interpretation graphique.
Partie C: étude d'un aire 
on considére la fonction A définie sur l'intervalle [0;+infini[ par 
A(x)= Intervalle de x et 0 (en partant du haut vers le bas) [f(t) - (t-3) ] dt
1) Justifier que la fonction A est croissante sur l'intervalle [0; + infini[ 
2) Pour tout réel x strictement positif, calculer A (x)
3) Existe t-il une valeur de x telle que A(x) = 2 ?
Il y a 4 ans - Il reste 0 seconde pour répondre - 7 réponses au total - Signaler un abus




Réponses à cette question de mathématiques


Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Bonjour,
1er post: comment sais-tu que la différence est positive ?
2e post: OK ou pour "viter le signe - x=ln3/5 mais ta réponse est correcte
3e post: OK j'avais factoriser par e^-x mais ta réponse est correcte
4è post: OK  juste la phrase "g(x) possède un maximum sur [0; + infini[ qui est ln (6/5)" à corriger en
g(x) possède un maximum sur [0; + infini[ EN ln (6/5)
5è post: Tu as vu les primitives ? A(x) correspond à g(t)
quelle est laprimitive de e^-x et de e^-2x ?
(  A(x) c'est pas intervalle mais intégrale )
Anne


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Partie C:
1) On sait que la fonction g>0 sur [0; + infini[ d'après la partie A, alors la fonction A est strictement croissante sur [0; + infini[
2) Je n'ai pas reussi


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

La question 3 j'ai trouvé que
g'(x) = 0
-5 * e^x +6 = 0
-5 * e^x = -6
e^x = -6/-5
e^x = 6/5
x = ln 6/5
Donc g(x) possède un maximum sur [0; + infini[ qui est ln (6/5)


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Partie B:
1) MN = | ym-yn | = | f(x) - (x-3) | = | g(x) | = g(x)
Comme on sait que g(x) > 0, on en conclut alors que la distance MN = g(x)
2) g(x) = 5* e^-x -3* e^-2x + x - 3 - (x-3)
g'(x) = 5* (-1) *e^-x -3 * (-2) * e^-2x +1-1
-5 * e^-x + 6 * e^-2x
e^-2x (-5 * e^x +6)
 


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Pour la 2), j'ai écris:
5 - 3 * e^-x =0
-3 * e^-x =  -5
e^-x = -5/-3
e^-x = 5/3
-x = ln 5/3
x= - ln 5/3
 


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Pour la 1) j'ai écris:
On sait que la différence entre f(x) et (x-3) donne un résultat positif alors g(x) >0


Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Bonsoir,
partie A:
1) g(x) =5e^-x -3e^-2x = e^-x(5-3e^-x)
etudie le signe de chacun des facteurs
2) les courbes ont un point commun si f(x) = x-3  soit g(x) = 0 ce qui revient à résoudre 5 - 3e^-x = 0
Partie B:
1) les points ont la même abscisse et f(x) > x-3 (puisque g(x) >0) don MN = f(x) - (x-3)
2) la dérivée ne doit pas te poser de problème à calculer ..
Anne



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