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Exercice d'entrainement

Par michel9694 - Classe de Terminale S

Bonjour, j'ai fait un second exercice et j'aimerai savoir si il est correct ou non. Merci!
L'énoncé est le suivant:
On considère la suite réelle (Un) définie par son premier terme u0, u0=2 et par la relation de récurrence:
Un+1= 4*Un+3 / Un+2
1) a/ Calculer les cinq premiers termes de cette suite
     b/ Démontrer que l'on a Un>0 pour tout n de N.
2) Montrer que la suite (Vn) définie sur N par Vn= Un-3 / Un+1 est une suite géométrique
3) a/ Calculer Un en fonction de n
     b/ Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle on a: | Un-3| < 10^-3
 
Alors j'ai:
1) a/ u1= 4*2+3 / 2+2 = 8+3 / 4 = 11/4
u2= 4*(11/4)+3 / (11/4) +2 = 11+3/ (19/4)  = 14/ (19/4)  = 14*(4/19)  =56/19
u3=  4*(56/19)+3 / (56/19)+2  = (224/19)+3 / (94/19) = (281 /19) / (94/19)  = (281/19) * (19/84)  = 281/84
u4= 4* (281/84) +3 / (281/84)+2  = (562/47) +3 / (469/94)  = (703/47) / (469/94)  = (703/47) * (94/469) = 1406/469
u5= 4*(1406/469)+3 / (1406/469) +2  =(5624/469)+3 / (2344/469) = (7031/469) / (2344/469) = (7031/469) * (469/2344) = 7031/2344
b/ On sait que Un>0 car u0=2 donc on affirme que 4*Un est positif car on multiplie par 4 un nombre strictement supérieur à 0. 3 est aussi un nombre supérieur à 0 donc il est strictement positif. Un est supérieur à 0 car on l'a affirmé dès le départ et 2 est aussi strictement supérieur à 0.
Je sais que c'est mal rédigé mais je ne sais pas comment faire
2) Je dois faire Vn+1/ Vn ?
 
Merci beaucoup! Bonne journée
Il y a 4 ans - Il reste 0 seconde pour répondre - 46 réponses au total - Signaler un abus




Réponses à cette question de mathématiques


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 D'accord merci beaucoup ! Bonne nuit 

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Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

oui, là on ne peut plus rien faire.
tu as la réponse à la question. En remplaçant n par 0, par 1, ..  tu peux vérifier que tu retrouves U0, U1, ..
Bonne nuit, il est tard


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Et on laisse les multiplications à l'intérieur de la fraction ?

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

y a pas à simplifier, il faut que tu exprimes Un en fonction de n:
Un (1 + 3*5^n) = 9*5^n -1 il reste à diviser
Un  = 9*5^n -1 / (1 + 3*5^n)


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Ah d'accord, merci. Mais je ne vois pas comment je dois faire avec les 5^n, on ne peut pas simplifier enfin je ne sais pas comment je dois faire 

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Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

non, ça fait
Un (1 + 3*5^n) = 9*5^n -1


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Ça fait:
4Un+5^n=9*5^n-1?


Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

non la 2è ligne est fausse: et garde les Un d'un côté et les nombre sde l'autre côté du =
 3Un*5^n-9*5^n=-Un-1
3Un*5^n +Un = 9*5^n - 1


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 3Un*5^n-9*5^n=-Un-1
3Un+Un*5^n-9*5^n+1=0
4Un*5^n-9*5^n+1=0


Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

si:
Un*3*5^n -3*3*5^n = -Un-1


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Bah je ne peux pas développer avec une multiplication dans la parenthèse 

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

non 3 * 5^n n'est pas égal à 15^n, 3 n'est pas à la puissance n

Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 [(Un-3) * 15^n]= -Un -1
15Un^n -45^n=-Un-1 


Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

oui, développe à gauche puis regroupe les Un d'un même côté

Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 C'est égal à:
(Un-3)*(3*5^n)=-Un-1 


Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

ben non, y a plus le - ni de =
Un-3/Un+1 = - 1/ 3*5^n
(Un-3)* 3*5^n = -1 ( Un+1)


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Ah d'accord, ça fait:
[1*(Un+1)/(Un-3)(3*5^n)]
[(Un+1)/(Un-3)(3*5^n)]



Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

-1 / 3 * 1/5^n = (-1*1) / (3*5^n) = -1 / 3*5^n

Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Bah le 1 de 1/5 est passé ou?

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

simplifie l'expression, ça donne Un-3/Un+1 = - 1/ 3*5^n
puis produit en croix


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Et je fais comment avec (Un-3/Un+1) ?

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

oui et tu peux simplifier (1/5)^n en 1/5^n

Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 Vn est une suite géométrique de raison 1/5, donc Vn=V0*q^n 
Vn=(Un-3/Un+1)=(U0-3/U0+1)=(2-3/2+1)=(-1/3)
Vn=-1/3*1/5^n 
(Un-3/Un+1)=(-1/3)*(1/5)^n



Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

non, tu n'as pas ça, tu a perdu l'exposant au 5

Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

J'ai: (Un-3/Un+1)=(1/5)*V0
=(Un-3/Un+1)=(1/5)*(-1/3)
=(Un-3/Un+1)=(-1/15)


Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

oui, qui peut s'écrire un peu plus simplement  Vn=(-1/3)*1/5^n
donc maintenant tu remplaces Vn par son expression:
Un-3 / Un+1 = (-1/3)*1/5^n


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 Vn=(-1/3)*(1/5)^n

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

pour V0, c'est ça.
Pour Vn il faut que tu utilises la forme générale d'une suite géométrique Vn = V0 * q^n


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Alors J'ai:
Vn=1/5*V0
V0=(U0-3/U0+1)=(2-3/2+1)= -1/3
Vn=1/5 * (-1/3)
Vn= (-1/15)


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

D'accord j'essaie de le faire

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

non non , tu peux pas faire ça pour 2 raisons:
1).1/5 est la raison de la suite Vn
2) on ne sait pas si la suite Un est arithmétique
il faut que tu partes de Vn, suite géométrique de raison 1/5*donc Vn = 1/5 * V0
V0 tu peux le calculer à partir de Vn = Un-3 / Un+1 en remplaçant n par 0
puis dans Vn = 1/5 * V0 tu  remplaces Vn par Un-3 / Un+1 et tu isole Un ...


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Pour la 3) a/ j'ai fais:
Un+1= Un+r
Un+1= U0+r
Un+1=2 + 1/5
Un+1= 11/5


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 Bonjour Anne! Oui c'est plutôt compliqué de suivre mais j'ai réussi à suivre et j'ai compris merci!
 


Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

salut Aladin et Michel
je me pers un peu dans tous ces grands calculs... , sur la première ligne il y a un 2 en trop: et je sépare numérateur et dénominateur par des crochets
[(4*Un+3-3*(Un+2) / Un+2)/(4*Un+3+(Un+2)/Un+2)]/[(Un-3/Un+1)]
on peut simplifier par Un+2:
[(4*Un+3-3*(Un+2) /(4*Un+3+(Un+2)/(Un-3/Un+1)
[4*Un+3-3*Un-6 /(4*Un+3+Un+2)/(Un-3/Un+1)
[Un-3 /5*Un+5]/(Un-3/Un+1)
[Un-3 / 5(Un+1)]*[(Un+1/Un-3)]
1/5
ouf j'espère que tu as suivi, c'est plus simple sur fuille de papier avec des grands traits de fraction


Réponse >>
Par aladin1976 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 Salut Anne !!!

Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Alors j'ai: 
(4*Un+3-3*(Un+2) / Un+2)/(4*Un+3+2*(Un+2)/Un+2)/(Un-3/Un+1)
(4Un+3-3Un-6/Un+2)/ (4Un+3+2Un+4/Un+2)/(Un-3/Un+1)
(Un+3/Un+2)/(6Un+7/Un+2)/(Un-3/Un+1)
(Un+3/Un+2) * (Un+2/6Un+7) * (Un+1/Un-3)
(Un+3/6Un+7) * (Un+1/Un-3)
Après je suis bloqué...


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

D'accord je recommence demain matin, je vais aller dormir. Merci pour votre aide! 

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

à partir de là, c'est faux puisqu'il faut développer les parenthèses
 


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

D'accord je rectifie, mais le reste est correct ou à cause de ça c'est faux?

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

il te manque des ( ) dans cette ligne (4*Un+3-3*Un+2 /Un+2) / (4*Un+3+2*Un+2 /Un+2) /(Un-3/Un+1)
ça doit être:
(4*Un+3-3*(Un+2) /Un+2) / (4*Un+3+2*(Un+2) /Un+2) /(Un-3/Un+1)


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Pour la 2, j'ai :
Vn+1/Vn=q
(Un+1-3/Un+1+1)/(Un-3/Un+1)
(4*Un+3/Un+2)-3 / (4*Un+3/Un+2)+2 / (Un-3/Un+1)
(4*Un+3-3*Un+2 /Un+2) / (4*Un+3+2*Un+2 /Un+2) /(Un-3/Un+1)
(4Un-3un+5/Un+2)/ (4Un+2Un+5/Un+2)/(Un-3/Un+1)
(Un+5/Un+2)/(6Un+5/Un+2)/(Un-3/Un+1)
(Un+5/Un+2) * (Un+2/6Un+5) * (Un+1/Un-3)
(Un+5/6Un+5) * (Un+1/Un-3)
Et après je n'y arrive pas 


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Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 D'accord merci beaucoup ! 

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

initialisation OK
On suppose que c'est vrai pour le rang n donc Un>0
ensuite la rédaction ne va pas:
Un>0
4Un>0
4Un +3 >0
d'autre part
Un>0    
Un+2>0 
1/(Un+2)>0
donc  4Un +3 / Un+2 >0
soit Un+1 >0
Un > 0 pour tout n>0
 


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

Initialisation: Supposons que un>0
U0>0 soit 2>0
L'initiation est vérifiée 
Hérédité: On suppose que la propriété est vraie au rang n tel que n>0.
Un>0, 4*Un>0, 3>0 
Et Un>0,  2>0 
Donc par quotient: 4*Un+3 / Un+2 soit un+1>0 
Conclusion: Pour tout entier n, n>0


Réponse >>
Par michel9694 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

 D'accord j'essaie de le faire

Réponse >>
Par anne8806 - Il y a 4 ans - Signaler un abus

1a) OK
1b) il faut faire un raisopnnement par récurrence
2) oui tu peux faire Vn+1/Vn ou exprimer Vn+1 avec Un et montrer que qu'il est de la forme    a* Vn où a est un nombre réel



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