EXECICE 1/
soit (G,) un groupe,on appelle centre de G ,l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de G
Z(G)={ aG/ x G ,x a=ax}
montrer que:
Z(G) est un sous groupe de G.
Z(G)=G G est abelien
EXERCICE2:
soit G un groupe, on considère Aut(G) l'ensemble des automorphismes du groupe G.
montrer que (Aut(G),¤) est un groupe
*********************merci d'avanceIl y a 2 ans - Il reste 0 seconde pour répondre - 2 réponses au total - Signaler un abus
Re-salut,
Pour l'equivalence de l'exercice 1...C'est absolument évident :
Si Z(G)=G c'est que tous les éléments commutent avec tous les autres...Donc G est abelien
Réciproquement si G est abelien alors c'est que tous les éléments commutent avec tous les autres et donc Z(G)=G
Exercice 2
C'est un exercice classique.
la loi rond est associative par définition
une composée de deux bijections est bijective etc...
Je ne vois pas ou tu rencontres des problèmes...Si tu pouvais être plus précis dans ta question je pourrais sans doute t'aider plus...
Réponse >>
Par ksavie - Il y a 2 ans - Signaler un abus
Salut ryma,
Exercice 1. Je vais noter * la loi de G :
Il est évident que Z(G) est inclu dans G (car ce sont des éléments particulier de G).
De plus, Z(G) est non vide...Il contient l'élément neutre qui évidemment commute avec tout le monde...
Enfin : soit a et b dans Z(G), il reste à démontrer que commute avec tout le monde:
On peut commencer par montrer que que si b est dans Z(G) alors est dans Z(G).
Pour tout g dans G on a :
b*g=g*b et donc g=b^(-1)*g*b et donc g*b^{-1}=b^{-1}*g
Enfin,
a*b^(-1)*g=a*g*b^(-1)=g*a*b^(-1)
Conclusion : a*b^(-1) est dans Z(G)
Z(G)=G est équivalent à G abelien arrive tout de suite...
) un groupe,on appelle centre de G ,l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de G
G/
x 
G est abelien
commute avec tout le monde:
est dans Z(G).
