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Systemes d'équations à trois inconnues

Par sarounette06 - Classe de Première ES

Bonsoir! pouvez vous me mettre sur une piste
parce que j'ai bo essayer mais ça correspond pas j'ai l'impression d'inventer des choses bizarres
x + y + 2 z = 9
2 x - y + 3 z = 9
5 x + 2 y + 9 z = 36
merci d'avance
Il y a 6 ans - Il reste 0 seconde pour répondre - 3 réponses au total - Signaler un abus




Réponses à cette question de mathématiques


Réponse >>
Par fureteur - Il y a 6 ans - Signaler un abus

On ajoute les deux premières égalités membre à membre (on se débarrasse de y )
3x + 5z = 18
on multiplie la deuxième par 2
4x - 2y +6z = 18
que l'on ajoute à la troisième
9x+15z = 54  on répète l'égalité trouvée auparavant :
3x + 5z =18  que l'on multiplie par 3
9x + 15z =54
C'est la même chose que 2 lignes au dessus
On multiplie la 1ère par -2
-2x-2y-4z = -18
que l'on ajoute à la troisième
3x+5z = 18
Encore la même chose !
Il n'y aura pas de solution
Si tu as une calculatrice qui traite les matrices, entre la matrice A :
1  1  2
2  -1  3
5  2  9
Demande Formule de mathématiques pour voir. Elle signalera sûrement une erreur
Demande le calcul du déterminant . Elle te donnera 0 à coup sûr
Ce n'est pas étonnant que tu te cassais la tête
Si je ne me suis pas trompé, bien sûr !!
 
 


Réponse >>
Par ksavie - Il y a 6 ans - Signaler un abus

Salut sarounette06 (bonne année),
 
Appelons E1, E2 et E3 les trois équations . En fait, ce système (s'il n'y pas d'erreu de consigne) n'admet pas pas qu'une seule solution !!! Aie aie aie !!!
En effet, on remarque que l'équation E3 peut être obtenue à partir de E1 et de E2. Voilà comment :
(1) On multiplie E1 par 3. Cela donne 3x+3y+6z=27 (appelons cette nouvelle équation E4)
(2) on addionne E4 et E2. Cela donne:
3x+3y+6z+(2x-y+3z)=27+9   On simplifie :
5x+2y+9z=36 !!!!!!!!!! Sic !!!!!! On reconnait E3 !!!!!!!
 
Cela signifie, qu'en fait, dans ce sytème à trois équations il y a une des équations qui ne sert à rien. On peut choisir d'enlever n'importe laquelle...Enlevons E3 (par exemple)
 
Le problème posée revient à résoudre le système de 2 équations à 3 inconnues suivant:
x+y+2z=9   (E1)
2x-y+3z=9 (E2)
 
Ce système a plus d'inconnues que d'équations. On va quand même arriver à le résoudre...Il faut comprendre un truc très simple : Si on connassait le nombre z, alors on se retrouverait avec un systeme de deux équations à deux inconnues (x et y) et ce serait un sytème que l'on serait résoudre (depuis la classe de 3e).
Alors voilà...Imaginons que l'on connaisse le nombre z, le sytème devient :
x+y   =  9-2z   (E'1)  
2x-y  =  9-3z   (E'2)
 
Il nous reste plus qu'a trouver x et y (puisque on suppose z connu !!)
Additionnons E'1 et E'2
x+y+(2x-y)=9-2z+(9-3z)   Simplifions un peu :
3x = 18 - 5z   On divise par 3 :
et donc Formule de mathématiques (*)
On vient de trouver x. Pour trouver y, il suffit de remplacer cette valeur de x dans E'1 (ou dans E'2) . Dans (E'1) Il vient  :
Formule de mathématiques
on trouve Formule de mathématiques c'est à dire
Formule de mathématiques (**)
 
Voilà c'est terminé. On vient de trouver toutes les solutions de ce système ! Donne n'importe quelle valeur à  z et tu trouveras les valeurs correspondantes pour x et y grace à (*) et (**)
Par exemple, si z=6 alors on a plus le choix x=-4 et y=1
Par exemple, si z=0 alors x=6 et y=3
Par exemple, si z=1,34 alors ....
Ce système admet une infinité de solutions (tu verras en géométrie que toutes ces solutions sont posées une droites affine de l'espace à 3 dimensions)
Voilà, j'espère que cela va t'aider un peu...
 


Réponse >>
Par professor - Il y a 6 ans - Signaler un abus

Il est facile de vérifier que l'équation (3) = (1)*3+(2), (une équation qui peut s'écrire en fonction des deux autres) donc la résolution du système est impossible car le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnus
On peut vérifier ça rapidement par la méthode matricielle, on trouve que le déterminant est égale à zéro. Donc pas de solution.
Voila!



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