IL y a deux tours: une de 40m et une autre de 30m. Un écart de 50msépare ces tours et unpuits se trouve entre ces tours.
IL y a un oiseau au sommet de chaque tour ils partent en même temps et à la même vitesse vers le puits. ILs y arrivent au même moment..
A quelle distance de chaque tour se trouve le puits ? Il y a 1 an - Il reste 0 seconde pour répondre - 2 réponses au total - Signaler un abus
Soit T1 le sommet de la plus haute tour d'où se jette le premier oiseau. Soit H1 le pied de cette tour. Soit P le puits.
T1H1P définit un premier triangle rectangle (l'énoncé laisse imaginer que l'on est loin de Pise!).
Soit T2 le sommet de la plus petite tour d'où s'élance le second oiseau. Soit H2 le pied de cette tour.
T2H2P définit un second triangle rectangle.
REMARQUE PREALABLE: Vu que l'oiseau juché en T1 part de plus haut et que les volatiles mettent autant de temps pour atteindre le puits, on se doute que sa "distance au sol" sera moins importante que celle de l'autre de manière à s'équilibrer à l'arrivée: ce qu'il perd en vertical (altitude), il le regagne en horizontal! L'inverse pour son congénère qui a l'avantage d'être plus bas. Mathématiquement, T1H1 > T2H2 => H1P < H2P.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle T1H1P permet de conclure: T1Pau carré = T1H1au carré + H1Pau carré.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle T2H2P permet de conclure: T2Pau carré = T2H2au carré + H2Pau carré.
La formule générale de la distance parcourue en fonction du temps et de la vitesse est: D = v x t.
Qui se traduit pour le premier oiseau par: T1P = v1 x t1; pour le second: T2P = v2 x t2.
Or, temps et vitesse étant les mêmes pour chacun => v1 x t1 = v2 x t2, soit T1P = T2P. A fortiori T1Pau carré = T2Pau carré !
Comme T1Pau carré = T1H1au carré + H1Pau carré et d'autre part T2Pau carré = T2H2au carré + H2Pau carré; par transitivité de l'égalité, on déduit: T1H1au carré + H1Pau carré = T2H2au carré + H2Pau carré
qui peut aussi s'écrire: T1H1au carré - T2H2au carré = H2Pau carré - H1Pau carré
ou encore, en identifiant l'identité remarquable a au carré - b au carré avec a = H2P et b = H1P: T1H1au carré - T2H2au carré = (H2P + H1P) (H2P - H1P)
On connaît T1H1 = 40m; T2H2 = 30m; H2P + H1P = H1H2 = 50m. (1)
On déduit alors H2P - H1P = (40au carré - 30au carré)/50 = 14m => H2P = 14 + H1P.
Sachant qu'on ne change pas une égalité en y ajoutant une même quantité de part et d'autre (régularité de l'addition): H2P + H1P = 14 + H1P + H1P.
Autrement écrit (cf (1)): H1H2 = 14 + 2H1P.
i.e (50 - 14)/2 = H1P. D'où H1P = 18m et par conséquent, H2P = 50 - 18 = 32m; et on le voit, H1P < H2P => Résultats tels que pressentis!
Pointbarre (Pas foutu de démontrer le grand théorème de Fermat!)
