On considere la fonction numerique caracterisee pas: f ' (x) = f(x) + x et f(0) = 1
1) on fixe un reel x dans [0 ; 1], et un pas x/n sur [0 ; x] de l'approximation. On construit a l'aide de la methode d'Euler une suite de pts Mk proches de la courbe representative de f, sur [0 ; x].
a) Montrer que les coordonnees (xk ; yk) de Mk obtenus en appliquant cette methode verifient:
x0 = 0 et y0 =1 et xk= kp et yk+1 = (1+p)yk+p^2k ou p+x/n et k appartien a {0 ; 1 ; ...n-1}.
b) Que valent xn et yn?
c) La suite (vk) definie pour x fixe, et n fixe par: vk = p^2.yk + p^3.k + p^2
Montrer que cette suite est geometrique, puis expliciter son terme general.
Montrer que pour tout k dans {1;....;n}: yk = 2 (1+p)^k - pk -1
2) expliciter yn en fonction de x et n.
3) montrer que, x etant fixe dans [0 ; 1], la suite (yn) converge vers f(x), ou f(x) = e^x - x Il y a 1 an - Il reste 0 seconde pour répondre - 1 réponse au total - Signaler un abus
3) on a : yn = 2 (1+p)^n - pn -1 = 2 (1 + x/n)^n -x - 1
Sait tu demontrer que : (1 + x/n)^n -> e^x quand n -> +infini ?
( Sinon repond aux questions suivantes:
i) c'est quoi la limite de ln(1+x)/x quand x -> 0 ?ii) considere n*Ln(1+x/n) pourquoi ca tend vers x quand n -> +infini ? )
Donc on conclu que yn -> f(x) = 2e^x -x -1
Donc il y avait une erreur dans l'enonce f(x) = 2e^x -x -1
