Bonsoir;
j'ai un problème qui me pose plein de question spour savoir comment le commencer:
pour (p,n) appartien a N ², S(p,n) désingne le nombre de de sujections d'un ennsemble à p éléments dans un enssemble à n éléments .
1. pour n >p>=1, calclculer S(p,n).
2.pour p a appartient à N * , calculer S(p,p); S(p,1); S(p,2).
3.a soient E et F eux enssembles de caridnaux respectifs p+1 et p (avec p>=1). on considère une application surjective f:E--> F.
Montrer qu'il existe un unique Y appartient à F ademettant deux antéccédents .
b.En déduire la valeur de S(p+1,p).
on considère que 1<= n <=p.
4.soit q aprtient {0....n-1}
somme(-1)^k(n k)(K q) =0 Il y a 1 an - Il reste 0 seconde pour répondre - 21 réponses au total - Signaler un abus
Manger trop de chocolat n'est pas bon !
Après un petit seuvrage et une excellente remarque de pointbarre : j'en compte trop ! ! oups !
Alors voilà, ce que l'on peut affirmer :
1)Si n >p alors S(p,n) = 0.
2) S(p,p)=p! (car dans ce cas toute surjection est une bijection).
3) S(p,1)=2^p - 1 (car on choisit dans E une partie non vide ).
4) S(p,2) = 1-2^(p+1)+3^p.
En effet, pour le premier element de l'ensemble d'arrivé, il faut choisir une partie non vide et non totale de l'ensemble de départ. Et pour le second élément de l'ensemble d'arrivé il faut choisir parmi les éléments de l'ensemble de départ qui n'ont pas pour image le premier élément de l'ensemble d'arrivé une partie non vide. Cela fait travailler les formules du coefficient binomial...Je trouve : S(p,2) = 1-2^(p+1)+3^p
Ce qui donne S(3,2)=12 (ce qui est cohérent avec la correction de pointbarre sur ma liste de surjection).
Ce qui donne S(4,2)=50 ( Je sais, cela fait beaucoup !)
...C'est bizarre j'ai l'impression que mes neurones se remettent en place tout doucement...
Je vous remercie pour toutes vos réponses; finalement j'ai trouvé un corigé sur le net dites mo ce que vous en pensez;
http://bardet.maths.free.fr/enseignement7_8/nbsurjections.pdf
Merci
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Par pointbarre - Il y a 1 an - Signaler un abus
Bonjour "ramstyle"(fan de Ramstein?) et "ksavie",
"ksavie" a écrit : " En fait S(3,3) = 6 ". Eh bien oui ! Confus, j'en ai oublié 2 !
Je n'ai plus les idées claires avec tous ces patatoïdes (plus ressemblant à des haricoïdes!).
En revanche, dans ta liste de S(3,2), tu en as répété 6 : (1;1),(2,2),(3;2) (1,2),(2,1),(3,1) (1,1),(2,1),(3,2) (1,2),(2,1),(3,2) (1,1),(2,2),(3,1) (1,2),(2,2),(3,1).
D'autre part je ne vois pas mon erreur ici:
S(1,1) = 1; S(2,1) = 3; S(3,1) = 7; S(4,1) = 15 ... D'où il semblerait que S(p,1) = ∑p=1––>p 2exposant(p-1) , p appartenant à IN*
http://www.imagup.com/imgs/1231004035.html
Quoi qu'il en soit, je t'adresse un grand MERCI pour tes réponses constructives!
Pointbarre (Pas foutu de démontrer le grand théorème de Fermat!)
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Par ksavie - Il y a 1 an - Signaler un abus
Une dernière remarque : si F={1,2,3} et E={a,b,c,d}
Le nombre de partie de F est bien 2^3=8.
Mais attention les parties {1,2} et {2,1} sont égales ! ! ! ! ! ! ! !
En revanche, f(a)=1 et f(b)=2 n'est pas la même fonction que celle qui serait définie par f(a)=2 et f(b)=1
J'espère que mes remarques t'aiderons un peu....
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Par ksavie - Il y a 1 an - Signaler un abus
aller...j'en profite pour te donner une liste de S(3,2) :
E---->F
1---->2
2---->2
3---->1
................voilà....Cela fait....18....S(3,2)=18
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Par ksavie - Il y a 1 an - Signaler un abus
re salut,
Je ne comprends pas tout ce que tu écris, mais il y a en effet, une ou deux choses qui me gêne :
d'abord, je pense qu'il n'y a aucune raison qu'une surjection s'applique à tous les éléments d'un ensemble de départ. Par exemple la fonction tangente est surjective mais n'est pas définie pour pi/2.
Ensuite tu parles des antécédents de 1...je ne comprends pas trop...Pourrais-tu m'expliquer plus.
De plus, tu dis que 2^n est le nombre totales de parties de En. C'est vrai ! Mais quel est le rapport avec nos surjections ? Pourrais-tu m'expliquer plus ?
Enfin, je te rappelle que S(p,2) (si p=2) n'est pas égal à 1 mais à 2 :
voici la première surjection :
E-----> F
1 -----> 1
2------->2
Voici la deuxième :
E------->F
1------->2
2-------->1
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Par ramstyle - Il y a 1 an - Signaler un abus
est ce que sa c'est faux:
on a une appilication surjective f par exemple d'un enssemble quelconque En (:=indice n ) dans E2 qui s'applique sur tous lmes éléments , des antécédenst de 1 , à condition que l'appilication f soit surjective lorsque cet enssemble n'est ni vide ni E2.
et on 2^n est le nombre totale des parties de En
Dites si c'est faux sa
Merci
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Par ksavie - Il y a 1 an - Signaler un abus
oui, je crois que tu t'es trompé...
Quant à moi...Si je me suis planté, il faut me dire où ...99 fois sur 100 un matheux se plante quand il fait des maths...Soyons humble....
Calculons S(p,2) et dis moi où je me trompe...D'abord les deux éléments de F doivent avoir un antécédent, qu'il faut prendre parmi les p élément de E. Il y a p! / (p-2)! = p(p-1) couples possibles.
Mais ce n'est pas tout,
il reste dans E, p-2 éléments qui doivent avoir AU PLUS une image : Pour chacun de ces éléments restant, il peut ne pas y avoir d'image, ou bien il paut avoir comme image un seul des deux éléments possible de F. Ce qui fait que pour chacun de ces p-2 éléments il y a trois images possibles (aucune, le premier élément de F ou le second). Il y a donc 3^(p-2) situations possibles.
Au total, j'affirme que S(p,2) = p! / (p-2)! x 3^(p-2) qui se simplifie en S(p,2)=p(p-1)3^(p-2)
Si je me trompe, il faut me le dire....
vous en êtes sur de sa, parce que j'ai une discussion avec mon ami.
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Par ksavie - Il y a 1 an - Signaler un abus
ok pour S(p,1), mais pas pour S(p,2) :
En effet, si ta formule est juste elle doit marcher pour p=2. Or ta formule donne pour p=2, S(2,2)=1
Or il est très facile de voir que S(2,2)=2...
Je pense que S(p,2) = p!/(p-2)! x 3 ^(p-2)
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Par ramstyle - Il y a 1 an - Signaler un abus
ok, merci
est ce que S(p,1)=1 et s(p,2)=2^p-2
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Par ksavie - Il y a 1 an - Signaler un abus
salut, ramstyle je suis la ce soir pendant quelques heures...
je vais me repeter mais à la première question on a S(p,n)=0 car n>p ! !
Cette question n'est la que pour motiver le fait qu'il faut que p soit plus grand ou égal à n pour que l'étude du nombre S(p,n) est un sens. D'ailleurs regarde la question 3.b. tu vois bien que n<=p ! !
Ensuite, tu dis que n n'est jamais égal à p...Je crois que tu te trompes car à la question 2. on demande de calculer S(p,p) . Ce qui signifie que l'on te demande de calculer S(p,n) dans le cas particulier où n=p ! ! ! ! ! !! ! ! ! !!!!!
Enfin, si je met plusieurs point d'exclamation, c'est pas par colère...Pas du tout...C'est par ce qu'il ne faut pas confondre avec la notation factorielle !
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Par ramstyle - Il y a 1 an - Signaler un abus
Dites moi n n'est jamis égale à p.
Par contre je pense que vous avez oublié une condition dans l'ennocé qui est : n >p>=1
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Par ksavie - Il y a 1 an - Signaler un abus
Cher pointbarre, je crois qu'il t'en manque quelques unes...S(3,3) est forcément superieur ou égal à 6 car le gropupe symétrique à trois éléments est constitué de 6 bijections (qui sont évidemment des surjections). En fait S(3,3)=6.
En apelant 1, 2 et 3 les trois éléments de l'ensemble de départ ainsi que ceux de l'ensemble d'arrivé, voici les 6 éléments de S(3,3) :
Identité l'image de 1 est 1, l'image de 2 est 2 et l'image de 3 est 3.
(1 2 3) "lire l'image de 1 c'est 2, l'image de 2 c'est 3 et l'image de 3 est 1".
(1,3,2) "lire l'image de 1 est 3, l'image de 3 est 2 et l'image de 2 est 1".
(1,2) une transposition laissant 3 fixe.
(1,3) laissant fixe 2 et permutant 1 et 3
(2,3) laissant fixe 1
voilà...Cela fait 6.
Bonjour,
J'ai beaucoup réfléchi à la manière de traiter cet exercice. La question 2 surtout. J'ai envisagé les cas de surjections possibles (j'espère ne pas en avoir oublié!) pour les tout premiers exemples, les ai dénombrés et tenté de donner une formule générale qui reste à démontrer. Ce que je puis simplement dire c'est que mes résultats ne concordent pas avec ceux de "ksavie"... Voyez plutôt!
S(1,1) = 1; S(2,2) = 2; S(3,3) = 4; S(4,4) = 9; S(5,5) = 19 ... Il semblerait que S(p,p) = 4.(2exposant(p-3)), p appartenant à IN*, p < 3 et S(p,p) = 4.(2exposant(p-3)) + ∑p=0––>p 2exposant(p-4) , p entier naturel, p > 3
http://www.imagup.com/imgs/1231040710.html
S(1,1) = 1; S(2,1) = 3; S(3,1) = 7; S(4,1) = 15 ... D'où il semblerait que S(p,1) = ∑p=1––>p 2exposant(p-1) , p appartenant à IN*
http://www.imagup.com/imgs/1231004035.html
S(1,2) = 0; S(2,2) = 2; S(3,2) = 12; S(4,2) = 18 ... Il semblerait que S(p,2) = 6.(p-1) , p entier naturel, p > 2
http://www.imagup.com/imgs/1231090225.html
Pointbarre (Pas foutu de démontrer le théorème de Fermat!)
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Par ksavie - Il y a 1 an - Signaler un abus
re salut,
tu as écris surjection dans l'enoncé alors j'ai repondu pour des surjections....Maintenant lorsque n=p alors une surjection est forcément bijective....
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Par ramstyle - Il y a 1 an - Signaler un abus
Dites est ce que f est bijection ou surjection? parce que ici je pense c'est une surjection.
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Par ksavie - Il y a 1 an - Signaler un abus
Voilà comme promis, un retour sur la question 2 (comme ça on corrige une petite erreur que j'ai faite...En effet, il se peut à priori que les élémnts de l'ensemble de départ n'ai pas d'image ! ! ).
notons f : E-->F
Calcul de S(p,p) :
Ici f est une bijection !
Le premier élément de E peut avoir p images possibles
Le deuxième élément de E peut avoir p-1 images possibles (differentes de l'image du premier élément)
etc.
Le p-ième élément de E peut avoir qu'une seule image (...)
Bref : S(p,p)= p !
Calcul de S(p,1) :
Débile !
D'abord l'élément de F doit avoir un antécédent. Donc il y a p choix possibles pour le choisir dans E.
Il reste p-1 éléments dans E. Chacun de ces éléments a au plus une image par f. Il y a donc deux cas possibles !
Bref,
S(p,1)=p x 2^(p-1).
Calcul de S(p,2)...Là on commence a comprendre...Calculons S(p,n) dans le cas général (lorsque p est plus grand ou égal à n) :
1) Tous les éléments de F doivent avoir un antécédent. On calcule un arrangement de n éléments parmi p. Il y a donc p! / (p-n) ! cas possibles !
2) Il reste dans E (p-n) éléments qui ont au plus une image dans F, qui comporte n éléments. Donc cela fait (n+1)^(p-n) possibilités.
Bilan : lorsque p est supérieur où égal à n on a : S(p,n) = p ! / (p-n)! x (n+1)^(p-n)
D'ailleurs, on retrouve S(p,p)=p! et S(p,1)=px2^(p-1).
Quant à S(p,2)...Je te laisse vérifier...
Voilà...J'espère que cela va t'aider un peu...
re salut,
D'abord, la première question : Il n'existe pas de surjection d'un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments lorsque n est plus grand que p ! ! ! Car chaque éléments de l'ensemle de départ ne peut avoir qu'au plus une image. Donc dans l'ensemble d'arrivé il y aura des éléments sans antécédents ! Ce qui est impossible si on recherche une surjection !
Aussi, dans la première question je m'amusais en plus à calculer S(n,p) lorsque p<=n...C'est une simple question de dénombrement ! Mais je me suis sans doute planté...j'suis allé vite ...oui j'me suis planté...Je le refais demain matrin promis... pareil pour la question 2....
En tout cas pour la question 3, je n'ai rien à ajouter...C'est débile...Comment peut-on espérer n'avoir que des antécédents différents si l'ensemble de départ est plus petit que l'ensemble d'arrivé ?????
Bonjour;
je ne comprend pas vos répones vous puvez me donner des explications;
j'avoue que je ne comprends pas bien moi aussi .
Merci
cdt
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Par ksavie - Il y a 1 an - Signaler un abus
Salut ramstyle,
C'est les vacances, je prends deux minutes pour de donner quelques pistes...
On a toujours pas droit aux formules...Ca va être pénible...Ici le x désigne un mulyiplication...
Voici ce que je trouve (j'ai fait vite, et je ne suis pas à l'abri d'une erreur...)
1. Lorsque p est plus grand ou égal que n alors S(p,n) = p! / (p-n)! x n^(p-n)
Si p est plus petit que n alors S(p,n)=0.
2. Clairement S(p,p) = p!
S(p,1)=p
S(p,2)=...
3.a. Par l'absurde ! On évoquera le fait que card(E) est plus grand que card(F).
3.b. On en déduit que S(p+1,p) = S(p,p)x(p+1) = (p+1)! x p
4. Désolé, mais je ne comprends pas cette question 4...Attendons que l'éditeur de formule remarche !
