Bonjour! Voila mon professeur de maths nous a donné un exercice a faire et a vrai dire je n'y arrive pas du tout...
voici l'exercice. Partie A.
On designe par a un reel strictement positif et different de 1. On se propose de rechercher, dans l'intervalle ]0 ; +00[, les solutions de l'equation : (Ea) x^a=a^x
1)Verifier que les nombres 2 et 4 sont solutions de l'equation E2
2)Verifier que le nombre a est toujours solution de l'equation Ea
3) On se propose de demontrer que e est la seule solution de l'equation Ee. On note h la fonction definie sur l'intervalle ]0;+00[ par : h(x)=x-elnx
a- Questions de cours : On rappelle que lorsque t tend vers +00, alors e^t/t tend vers +00 demontrer que limite (x->+00) ln x / x = 0
b- determiner les limites de h en 0 et +00
c-etudier les variations de h sur l'intervalle ]0;+00[
d-dresser le tableau de variation de h et conclure quant aux solutions de l'equation EeIl y a 2 ans - Il reste 0 seconde pour répondre - 3 réponses au total - Signaler un abus
3 a : Comme
Soit , , la limite ci dessus devient celle demandée
h ' (x ) = 1 - e/x négative en dessous de e et positive au dessus
h a un minimum local en e et h ( e ) = e - e = 0
e est donc la solution à h ( x ) = 0
le ln de cette fraction est h ( x ) et ln 1 = 0
La conclusion est là
, 
, la limite ci dessus devient celle demandée
