soit Z un nombre complexe et a appartient à l'intervalle ouvert 0 , pi.
Z=1/2(sin a +i(1-cos a))
trouver un module et un argument de Z en fonction de a.
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desolé il y a une petite erreur qui s'est glissé
on a en fait
Abs(Z)= cos( (a-pi)/2) = sin( a/2) (et non pas cos (a- pi/2) comme je l'avais écris au départ)
le plus simple est de mettre l'expression sous forme d'exp complexe :
Z=1/2*(exp(i*(a-pi/2)) + exp(i*pi/2)) (en remarquant que sin a -i*cos a = exp(i*(a-pi/2) )
Ensuite il faut factoriser par la moyenne des 2 exp : ((a-pi/2) + pi/2) /2 = a/2
on obtient alors :
Z=1/2*exp(i*a/2)*(exp(i*((a-pi)/2) + exp(-i*(a-pi)/2))
on reconnait la formule de d'Euler à un facteur 2 près
d'où Z=cos (a - pi/2) * exp (i*a/2) = cos ( a- pi/2) (cela uniquement car le cos reste positif sur )
et arg (Z) = a/2 (si le cos avait été négatif il aurait fallu rajouter + pi)
c'est la solution qui me parait la plus élégante car elle minimise les calculs
j'ai posté le module de z avant.
Pour l'argument de z
soit cet argument on a:
cos=(1/2sina)/sin(a/2)=(sin(a/2)cos(a/2))/sin(a/2)=cos(a/2)
sin=((1-cosa)/2)/sin(a/2)=sin(a/2)
donc =a/2
= cos ( a- pi/2) (cela uniquement car le cos reste positif sur 
)
cet argument on a:
