Bonjour à tous et à toutes.
Je suis en Term S, et j'adore ça, alors sécher sur un problème de maths, c'est dur à admettre. Notre professeur de maths spé nous a donné cet exercice à rendre pour demain (facultativement) mais je n'arrive pas à tout faire. Il est tiré du Bac de Décembre 2001 en Nouvelle Calédonie. C'est du programme de spécialité.
J'ai fini sans trop de problèmes la partie I et les question 1, 2 et 3 de la partie II
Soit
Là, ça se corse. Je prouve que A et B sont impairs (4a) mais pour d divise n, c'est opaque à mes yeux.
Je n'arrive pas non plus la question 5 Auriez-vous des pistes à me donner ? Merci ^_^
Partie I
x un nombre réel.
1.
Montrer que +4 = (x²+2)²-4x²
2.
réels.
En déduire que +4 peut s’écrire comme produit de deux trinômes à coefficients
Partie II
Soit
On considère les entiers
n un entier naturel supérieur ou égal à 2.A = n² −2n +2 et B = n² +2n +2 et d leur PGCD.
1.
Montrer que +4 n’est pas premier.
2.
Montrer que, tout diviseur de A qui divise n, divise 2.
3.
Montrer que, tout diviseur commun de A et B, divise 4n.
4.
Dans cette question on suppose que n est impair.
a.
Montrer que A et B sont impairs. En déduire que d est impair.
b.
Montrer que d divise n.
c.
En déduire que d divise 2, puis que A et B sont premiers entre eux.
5.
On suppose maintenant que n est pair.
a.
Montrer que 4 ne divise pas n² −2n +2.
b.
Montrer que d est de la forme d = 2p, où p est impair.
c.
Montrer que p divise n. En déduire que dIl y a 2 ans - Il reste 0 seconde pour répondre - 5 réponses au total - Signaler un abus
Wooo merci fureteur, j'ai compris.
Quand tu l'expose, ton raisonnement me paraît tout à fait clair et logique, maintenant il faut que je m'exerce à le trouver tout seul. En un sens, ce n'est pas compliqué, mais retrouevr la démarche en plein devoir est moins simple.
Merci pour tout.
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Par fureteur (ingénieur diplomé dispense cours de mathématiques niveau lycée) - Il y a 2 ans - Signaler un abus
d est diviseur de A et de B. Il est aussi multiple de tout diviseur premier commun à A et B
n est pair, donc divisible par 2, n^2 aussi, 2n aussi, et 2 aussi, donc 2 divise toute combinaison de ces 3 nombres. Il divise donc A et B, donc d est multiple de 2.
Or 4 ne divise ni A ni B, alors d ne peut pas s'écrire4*k, il ne peut être que sous la forme 2*(2k+1)
Toujours les mêmes manips : 2p divise A et B, donc divise B-A, cad 4n, donc p divise 2n; Or p est impair, il ne peut diviser 2 ( à moins qu'il ne soit égal à 1 ), donc p divise n
p est alors diviseur commun à n, A, B. donc divise n^2, et encore 2n, par conséquent il divise B-n^2-2n
p divise ainsi 2 et il est impair.
Or 2 est premier, ses seuls diviseurs sont 1 et lui même. On ne lui laisse donc pas le choix, il opte pour 1
d=2*1=2
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Par malt - Il y a 2 ans - Signaler un abus
Merci fureteur, ça m'a bien aidé. Mais je bloque encore sur la fin du devoir Il faut prouver que d est pair, et que sa moitié est un impair. donc il est de la forme 2+2k avec k réel et donc 2(1+k) et ça me bloque pour la suite. Je vois pas comment faire, pourtant j'ai bien tourné le problème dans tous les sens....Montrer que d est de la forme d = 2p, où p est impair.
c.
Montrer que p divise n. En déduire que d = 2. (On pourra s’inspirer de la démonstration utilisée à la question 4)
+4 = (x²+2)²-4x²
+4 n’est pas premier.
; Si 4 divisait aussi A, alors il diviserait la différence, soit 2(n-1). Or n-1 est impair......
