Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus, et E est le pied de la bissectrice de BÂC
1. Quelle est la hauteur commune aux triangles ABE et ACE?
2 On note S et S' les aires respectives des triangles ABE et ACE. Montrer que S/S'=BE/CE. En deduire que E est le barycentre du systeme de points (B;S'), (C;S)
3. Si on note H et K les projetés orthogonaux de E respectivement sur lles segment AB et AC, que peut on dire de de EH et EK?
4. EN calculant S et S' d'une autre façon, en deduire que E est le barycentre de (B;AC), (C;AB)
5. Montrer alors que le barycentre du système de points (A;BC), (B;AC), (C;AB) est le point de concours des bissectrices du triangle ABC.Il y a 1 an - Il reste 0 seconde pour répondre - 3 réponses au total - Signaler un abus
Bonsoir,
1) Les triangles ABE et ACE ont l' angle A commun et la droite (BC) commune comme support des côtés [BE] et [EC]. La hauteur issue de A dans le triangle ABC est donc commune aux 2 triangles ABE et ACE. Soit h la longueur du segment [A pied de le hauteur ].
2 L'aire d'un triangle = Côté * Hauteur / 2 . On en déduit que
h = 2*S*[BE] = 2*S'* [CE].. D4où l'égalité demandée.
Cette égalité est également la définition même du fait que E est le barycentre du systeme de points (B;S'), (C;S) ; en effet elle donne BE * S' = CE*S
3) Les triangles rectangles AHE et AKE sont égaux comme aynt l'hypotjénuse AE commune et 1 angle aigu ( en A) égal , car AE est la bissectrice de BAC. Ces 2 triangles sont donc égaux et EH = EK
4) Avec la même formule que plus haut, on a S = [AB]* [EH} S' = [AC) * [EK] et comme [EH] = [Ek] on a
[EH] = S/ [AB] = EK = S' / [AC] , donc S* [AC] = S' * {AB] donc S / S' = [AB ]/ [AC] = [BE]/ [CE] Donc
CE * AB = BE*AC d'où le résultat demandé.
5 Soit F le pied de la bissetrice issuede B et G celui de la bissectrice issue de C , par raison de symétrie on peut faire des permutations circulaires des sommets et on obtient que
E est le barycentre du système (B; AC) (C;AB)
F """"""""""""""""""""""""""""""""""""" (C; BA) (A; BC)
G """"""""""""""""""""""""""""""""""" (A; CB) (B; CA)
Le barycentre du système complet (B; AC) (C;AB) (A; CB) est donc le barycentre du système
(E ; AC+AB) (F; BA+BC) (G; BC+CA). IL est donc sur AE et sur BF et sur CG).
Bien sûr ne n'est pas noté toutes les prpriétés et théorèmes utilisés. A toi de le faire dans ta rédaction.
